ΙΣΤΟΡΙΑ, ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ & ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ

Αρχική » Σφήκας Δ. Ιωάννης, Μπαραλής Η. Γεώργιος

Σφήκας Δ. Ιωάννης, Μπαραλής Η. Γεώργιος

Επίλυση προβλημάτων ισοπεριμετρικών σχημάτων στην εκπαίδευση

Τα ισοπεριμετρικά προβλήματα αποτελούν ένα σύνολο προβλημάτων ακροτάτων, τα οποία αναφέρονται σε κυρτά γεωμετρικά σχήματα. Η σύγκριση των ισοπεριμετρικών επιφανειών, που έχουν διαφορετική μορφή, αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης Ελλήνων μαθηματικών της αρχαιότητας, όπως του Αρχιμήδη, του Ζηνόδωρου του Παιανιέα και αργότερα του Ήρωνα και του Πάππου από την Αλεξάνδρεια. Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα: «από όλες τις απλές και κλειστές επίπεδες καμπύλες με δεδομένο μήκος, ο κύκλος αποτελεί το χωρίο που περικλείει το μέγιστο δυνατό εμβαδόν» είναι, ενδεχομένως, το αρχαιότερο πρόβλημα μελέτης ακροτάτου. Η παράδοση το συσχετίζει με τον μύθο της Διδούς, τον οποίο διασώζει ο Βιργίλιος στην Αινειάδα. Σε έργα της αρχαιότητας διαπιστώνεται η κυριαρχία της παρανόησης ότι για τον υπολογισμό μιας επίπεδης επιφάνειας αρκεί να μετρηθεί η περίμετρός της. Για παράδειγμα, ο Θουκυδίδης εκτιμά το μέγεθος της Σικελίας σύμφωνα με τον χρόνο που χρειάζεται κάποιος για να την περιπλεύσει.

Η παλαιότερη γνωστή απόδειξη ισοπεριμετρικού προβλήματος αποδίδεται στον Ζηνόδωρο ενώ ο Νικομήδης και ο Διοκλής, επηρεασμένοι από τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο, συνεισέφεραν με τις ιδέες τους στη μελλοντική ανάπτυξη της θεωρίας των καμπύλων. Για αρκετούς αιώνες απουσίαζε μία ενιαία και συνεκτική μαθηματική θεωρία για έναν ομοιόμορφο τρόπο επίλυσης προβλημάτων ακροτάτων. Η ανάγκη, ωστόσο, επίλυσης τέτοιων προβλημάτων από τη γεωμετρία, την άλγεβρα, τη μηχανική, τη φυσική και άλλες επιστήμες, οδήγησε στην ανάπτυξη των πρώτων γενικών μεθόδων διερεύνησης και επίλυσής τους. Από τον 17ο αιώνα άρχισαν να επιλύονται με επιτυχία τέτοιου είδους προβλήματα, που στηρίχτηκαν πάνω στις ιδέες μεγάλων μαθηματικών της αρχαιότητας, από νεώτερους μαθηματικούς, όπως oι: Bernoulli, Leibniz, Newton με την ανάπτυξη του διαφορικού λογισμού. Έτσι τον 18ο αιώνα εμφανίζεται ένας ιδιαίτερος κλάδος αυτής της θεωρίας, ο «λογισμός των μεταβολών». Οι συνθήκες, όμως, οι πρακτικές ανάγκες και η διατύπωση πιο σύνθετων προβλημάτων οδήγησαν στην περαιτέρω πρόοδο και τη δημιουργία νέων κλάδων της μαθηματικής ανάλυσης, όπως η «θεωρία του βέλτιστου ελέγχου».

Αναφορικά με την επίλυση προβλημάτων, o Polya έχει ορίσει ως ευρετικές στρατηγικές τις γενικές προτάσεις ή τεχνικές που βοηθούν τον λύτη, κι επομένως και τον μαθητή, να κατανοήσει ή να λύσει ένα δεδομένο πρόβλημα. Οι προτάσεις αυτές πρέπει να είναι ανεξάρτητες από κάθε ειδικό θέμα ή τη φύση ενός συγκεκριμένου προβλήματος.

Τα προβλήματα ακροτάτων είχαν κυρίαρχη θέση στα σχολικά εγχειρίδια ως τη δεκαετία του 1980. Βαθμιαία η παρουσία τους ελαττώθηκε και η επίλυσή τους αντικαταστάθηκε, κυρίως, από την ενιαία μεθοδολογία του διαφορικού λογισμού.

Η παρούσα εργασία μελετά προβλήματα ισοπεριμετρικών σχημάτων των σημερινών σχολικών βιβλίων Μαθηματικών και Φυσικής της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και τους τρόπους επίλυσής τους. Ακόμη συγκρίνει αυτούς τους τρόπους με προηγούμενους που διδάσκονταν οι μαθητές, από τους οποίους απουσιάζει ο διαφορικός λογισμός, και προτείνει πιθανούς τρόπους αξιοποίησης αυτών στην εκπαίδευση.

Advertisements