ΙΣΤΟΡΙΑ, ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ & ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ

Αρχική » Χριστοπούλου Δήμητρα

Χριστοπούλου Δήμητρα

O μετασχηματισμός της έννοιας της αφαιρετικής διαδικασίας στα μαθηματικά

Η εργασία αυτή περιγράφει εκδοχές της αφαιρετικής διαδικασίας που οδηγεί στο μαθηματικό αντικείμενο. Ιδιαίτερα περιγράφει την φρεγκεανή αφαιρετική διαδικασία, την οποία, στη συνέχεια, προσεγγίζει με τα εννοιολογικά εργαλεία μιας διαφορετικής φιλοσοφικής παράδοσης. Συγκεκριμένα, επιχειρεί την περιγραφή των βασικών της σταδίων με φαινομενολογικούς όρους.

Η αφαίρεση ως διαδικασία πρόσβασης σε μαθηματικά αντικείμενα συναντάται στην Αριστοτελική φιλοσοφία στη συζήτηση σχετικά με τον διαχωρισμό. Το μαθηματικό αντικείμενο διαχωρίζεται από το αισθητό αντικείμενο, όταν αγνοηθούν (αφαιρεθούν) συγκεκριμένα χαρακτηριστικά του που δεν ενδιαφέρουν τον μαθηματικό (M 2 1077 b 10, M 3 1078 17-28). Ο διαχωρισμός όμως συμβαίνει μόνον στη σκέψη. Το μαθηματικό αντικείμενο που προκύπτει είναι νοητικό και δεν έχει αυτόνομη ύπαρξη.

Μια μορφή αφαίρεσης που συναντούμε στην επιστημονική επανάσταση είναι η περίπτωση του νήματος του εκκρεμούς. Ο Γαλιλαίος θεωρεί το νήμα ευθύγραμμο τμήμα αγνοώντας το υλικό και το πάχος του. Η μαθηματικοποίηση της φύσης έκτοτε στηρίζεται σε παρόμοιες αφαιρέσεις από τις οποίες προκύπτει το φυσικό αντικείμενο (βασικό στοιχείο της οντολογίας της φυσικής).

Η εξαγωγή μιας γενικής έννοιας από συγκεκριμένα αντικείμενα, πχ. η έννοια του αλόγου από δέκα διαφορετικά άλογα, βασίζεται σε μια διαδικασία αφαίρεσης. Αγνοούνται τα επί μέρους χαρακτηριστικά (χρώμα, μέγεθος, βάρος κλπ.) μέχρι να λάβουμε τη γενική έννοια ‘άλογο’. Ο γενικός όρος ‘άλογο’ δεν εκφράζει οντολογικά τίποτα περισσότερο από την αντίστοιχη γενική έννοια.

Το προηγούμενο είδος αφαίρεσης δέχθηκε την κριτική του G. Frege. Θεωρήθηκε ότι για να λειτουργήσει, χρειάζεται η χρήση της σε συγκεκριμένο βαθμό που είναι αδύνατο να προσδιοριστεί. Παρομοιάστηκε με «απορρυπαντικό» το οποίο σε μικρή ποσότητα δεν είναι αποτελεσματικό, ενώ σε ισχυρή ποσότητα δεν οδηγεί –κατά τη γνώμη του- σε μια γενική έννοια αλλά σε ένα όλο και περισσότερο «άυλο φάντασμα» (Frege, Mathematical and Philosophical Correspondence, 1980).

Ο Frege εισήγαγε στα Grundlagen der Arithmetik μια άλλη εκδοχή αφαιρετικής διαδικασίας που τυποποιείται ως καθολικά ποσοδεικτούμενη ισοδυναμία με μια ταυτότητα στο αριστερό της μέλος και μια διμελή σχέση ισοδυναμίας στο δεξί της μέλος. Με βάση αυτή τη διαδικασία, οι φυσικοί αριθμοί προκύπτουν από 1-1 αντιστοιχίες μεταξύ πραγματώσεων εννοιών, οι μορφές των σχημάτων προκύπτουν από τη γεωμετρική ομοιότητα, οι διευθύνσεις των ευθειών προκύπτουν από την παραλληλία ευθειών κ.ο.κ. Σήμερα ένα μεγάλο πλήθος φρεγκεανών αφαιρετικών αρχών μελετάται από τους Νεοφρεγκεανούς φιλοσόφους ως μέθοδοι ανακάλυψης αφηρημένων αντικειμένων.

Μια ανάγνωση της φρεγκεανής αφαιρετικής διαδικασίας με φαινομενολογικούς όρους είναι δυνατή, ωστόσο, και έχει γίνει ήδη από τον Hermann Weyl. Σ’ αυτήν την περίπτωση, απαιτούνται δύο πράξεις της συνείδησης, η αποβλεπτικότητα προς δεδομένα αναλλοίωτα στοιχεία, από τα οποία ξεκινά η αφαιρετική διαδικασία, και η πλήρωση των αποβλέψεων χάρη στην οποία είναι δυνατή η συγκρότηση ιδεατών αντικειμένων. Η πλήρωση των αρχικών αποβλέψεων πραγματοποιείται μέσω της εποπτείας. Τα μαθηματικά αντικείμενα καθίστανται παρόντα στη συνείδηση, ως ιδεατά αντικείμενα με δημόσιο (και όχι ατομικό) χαρακτήρα.

Η διαπίστωση και η ανάδειξη των εννοιολογικών αλλαγών σχετικά με γνωσιολογικές διαδικασίες, όπως πχ. η νοητική αφαίρεση, μπορούν να συμβάλλουν τόσο στη διδακτική της μεθοδολογίας των επιστημών όσο και στην έρευνα στο ευρύτερο πεδίο της φιλοσοφίας.